流体力学的ケルビン | 河南磁気組立有限公司

Scientific Reports volume 13、記事番号: 2686 (2023) この記事を引用

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金属表面のケルビン・ヘルムホルツ不安定性は、爆発溶接、慣性閉じ込め核融合、惑星衝突事象などの多くの物理プロセスにおける強い斜め衝撃に関連しています。不安定性の進化により、波状の形態が形成され、材料の結合や混合さえも引き起こされます。しかし、動的挙動を説明する方法が不足していることが主な原因で、金属の弾塑性特性によって制御される不安定メカニズムは依然としてとらえどころがありません。ここでは、接線速度によって引き起こされる進化の特徴を明らかにする理論を紹介します。私たちのシミュレーションでは、不安定な金属表面が降伏強度の低下を克服して振幅の成長と接線方向の運動を示し、波状の形態を生成することがわかりました。多様な荷重速度、波形表面、材料特性の場合、不安定境界はすべての不安定な進化を区別します。スケールに依存しない変数を使用して数値結果を再現する当社の解析手法により、強度材料の不安定性のさまざまな特徴が明らかになります。実験室での斜め衝撃実験における設計された荷重速度と材料の場合、波形表面の特性が不安定性の進展を決定する重要な要素になります。

金属表面のせん断によるケルビン・ヘルムホルツ不安定性(KHI)1、2はほとんど理解されていないが、特に高速衝撃溶接(HVIW)3、4、5、慣性閉じ込め融合(ICF)において金属が強い斜め衝撃を受けると解釈する価値がある。 )6,7、惑星衝突事象 8,9,10 など。角度のある表面衝突の瞬間に接線方向の速度ジャンプによって引き起こされる波状構造は、材料の結合、さらには混合の可能性を示しています 5,8。流体間の KHI は広範囲に研究されています 11,12 が、金属の弾性塑性 (EP) 特性の抑制効果に関連する KHI 進化の特性 13 は、徹底的に調査する価値があります。

金属表面上の KHI の検出は、実験施設内で高速せん断流を維持することが現実的に困難であるため、深刻な課題です 14。波状形態の特徴は、通常、高速斜め衝撃実験の助けを借りて議論され、その結果は進化プロセスを明らかにしない実験の終了時にのみ画像化することができます3、4、15、16。高速荷重下での深刻な断片化17。斜めの衝撃プロセスはコンピュータシミュレーションによって表示できますが、適切に細かいメッシュ分布を取得することに加えて、計算の精度は主に、材料界面を捕捉するためのさまざまな算術によって決まります15、18、19、20。金属上の KHI については、関連するシミュレーションが今のところ示されておらず、単に成長率を示すだけであり、金属の非線形支配方程式と非線形構成関係による解析的処理の不可能性を伴う従来のノーマルモード法による理論的解析のみが示されていることは驚くべきことである5,18。。その結果、接線速度不連続の作用下での金属摂動表面の進化特性の記述が特に不足しています。

固体上の KHI の表面挙動を調べる目的で、我々は成長速度と振幅の変化を解析式で記述するポテンシャル流動法を用いた理論解析を提案しました21。固体材料のせん断変形に抵抗する特性は、接線方向の流れによってフラッシュされる表面の不安定性の進展に影響を与えます。固体のEP特性により振幅の成長が妨げられ、周囲を振動する挙動となります。 EP 特性の抑制効果が振幅の展開で検出されていますが、異なる理想流体、つまり \(k\sqrt{{\rho }_{1}{\rho) の成長率が KHI と同じであることは興味深いです。 }_{2}{u}_{0}^{2}}/({\rho }_{1}{+\rho }_{2})\)。振幅の継続的な増加を示すために常に正です。。表面が安定であるか不安定であるかを成長速度によって推定する従来の方法 18,22 は、固体には無効であると思われます。さらに、EP 遷移と不安定性の進展との関係は、成長速度と振幅によっても示すことができません。現在の研究では、不安定性が名前付き不安定境界を発展させるかどうかを推定する方法を明らかにし、EP 分割による不安定性に対する EP 遷移の影響を説明することを試みます。

ここでは、静止した完全な EP 固体上を滑る一定の接線速度 u0 を持つ理想的な流体の形状の不安定性を考慮します (図 1)。簡単にするために、議論は流れ方向 x に垂直な y 軸を持つ 2 次元平面に限定されます。小さな摂動は、η(x,t) = ξ(t)eikx で表すことができます。ここで、ξ(t) は初期値 ξ(0) = ξ0 の振幅、k = 2π/λ は波長 λ の波数です。金属と流体は通常、異なる密度 ρ1 と ρ2 を持ちます。この系では、u0 は不安定性を誘発しますが、塑性変形前後の一定のせん断弾性率 G1 と一定の降伏応力 Y の抑制下では表面は安定している可能性があります。次に、KHI システムを特徴付けるいくつかの無次元変数が定義されます。 AT = (ρ1 - ρ2) / (ρ1 + ρ2) はアトウッド数です。 M02 = ρ1u02/G1 はマッハ数です。 z = ξ(t)/ξ0 は成長率です。 τ = tku0、\(\widehat{\lambda }\hspace{0.17em}\)= 2πξ0/λ、\(\widehat{Y}\hspace{0.17em}\)= ρ1u02/Y はそれぞれ無次元時間、波長ですそして降伏強度。

完全な EP 金属の摂動表面上を流れる理想的な流体の構成。密度 ρ1 の固体は 2D デカルト座標系では静止しており、密度 ρ2 の流体は x 方向で一定の接線速度 u0 を持ちます。初期摂動は、周期的な波長 λ と振幅 ξ0 を持つ余弦波形式 ξ0coskx を持ちます。材料の厚さ h1 と h2 は両方とも、無限媒質、つまり kh1 >> 1 および kh2 >> 1 に確実に近づくのに十分な大きさです。

まず、大規模な数値計算を実行して、金属摂動の時間変化を明らかにします。シミュレーションでは、システムの不安定性を示唆する振幅の継続的な成長と波頭の接線方向の動きを示すさまざまな波状形態の生成が実行されます。不安定性の進化の特性に基づいて,すべての安定なケースと不安定なケースを分離する不安定境界が達成され,また塑性挙動の有無にかかわらずすべてのケースを分割するEP分割も得られた。さらに,シミュレーション結果によって評価される不安定境界とEP分割の解析式を開示する理論的手法を実行した。同一の結果は、一見複雑に見える不安定性が、定義されたスケールに依存しない変数によって定量的に記述され、せん断弾性率と降伏強度の抑制による不安定性の進展の特徴を直接的な観点から解明できることを示しています。そのため、この理論は、強力な斜め衝撃の後に表面が不安定で波状のパターンを形成するかどうかに関係なく、他の強度媒体上で同様の KHI システムを推定するための潜在的な汎用性の高い方法になります。

図 1 の KHI 構成は、有限要素法 23 によってシミュレートされています (「方法」セクションを参照)。初期の瞬間、一定の接線速度を持つ水が摂動された銅表面に密接に接触します。変数のスケールは、斜め衝撃実験を参考にして選択されます 24,25。

豊富な計算の後、安定した場合と不安定な場合を含む金属表面の 4 つの典型的な時間発展を実行しました。せん断弾性率G1と強度Yの低下により、安定した表面は時間の経過とともに初期の摂動との類似性を維持し（図2a）、振幅は垂直方向の狭い範囲で振動挙動を示します（図2e）。 x方向の速度の操作の下で、不安定な進化は、わずかな接線方向の移動（図2b）、目に見える接線方向の動き（図2c）、または表面の巻き上げ（図2d）などの接線方向の動きを伴うy方向の成長を実行します。不安定な波状パターンの成長因子はすべて、異なる速度で増加する傾向を示します（図2e）。ちなみに、時間0.15μsと0.2μsでのシミュレーションにおける不安定な表面の波状形態（図2b〜d）は、異なる接線方向の動きやカール構造を含め、斜め衝撃実験で観察されたものと類似しています24、25、26。 27、28。

表面時間進化の 4 つのケース。 ( a – d) 有限要素法によって計算された、接線速度 u0 の理想流体 H2O (灰色) によって流された静止状態の Cu プレート表面 (青色) の表面時間形態のマップ 23。各 Cu プレートは、固定密度 ρ1 = 8.9 kg/m3、固定せん断弾性率 39.39 GPa、および波長 250 μm および振幅 10 μm の同じ初期摂動を持ちます。 4 つのケースは、ケース a u0 = 1.0 mm/μs、ρ2 = 2.0 kg/m3、Y = 500 MPa、ケース (b) u0 = 1.0 mm/μs、 ρ2 = 3.0 kg/m3、Y = 500 MPa、ケース (c) u0 = 2.0 mm/μs、ρ2 = 1.0 kg/m3、Y = 500 MPa およびケース (d) u0 = 2.0 mm/μs、ρ2 = 1.0 kg /m3、Y = 100 MPa。時間0.05 μs、0.1 μs、0.15 μs、0.2 μsにおける4つのケースの表面形態をそれぞれ示します。時間 0.2 μs における各表面の赤い矢印は、表面の運動方向の概略図です。 (e) 各ケースの成長率 z をシミュレーションから抽出します。

振幅の発展には明らかな不一致があるため、すべての変数の組み合わせについて、安定した発展と不安定な発展を分ける境界が見つかりました (図 3)。シミュレーションにおけるさまざまな無次元変数 AT、M0、\(\widehat{\lambda }\) および \(\widehat{Y}\) は、流体密度、接線速度、初期振幅、波長、せん断弾性率、降伏強度をそれぞれ変更することによって取得されます。 (補足を参照)。安定した振動と成長因子の継続的な増加に従って、\(\widehat{\lambda }\) を固定し、不安定マージンの位置に近づくのに十分な点密度で \(\widehat{Y}\) を変化させることによって境界が達成されます。次に、同じ手順を他の \(\widehat{\lambda }\) の値にも適用して、ドメインを分割する線を引くことができます。図 3 に示すように、AT と M0 が異なります。不安定境界の下と上のすべての変数の組み合わせを含む領域は、それぞれ安定した表面と不安定な表面を示します。同様に、塑性挙動を伴う振幅運動と塑性挙動を伴わない振幅運動を分割する EP 分割も実現されます。 EP 分割の下の領域は、分割線より上の塑性挙動としての弾性変形を意味します。また、EP 分裂が不安定境界の下にあることも観察され、これは、摂動の継続的な成長が初期摂動による変形の抵抗を克服するために塑性変形を経験する必要があることを示唆しています。

シミュレーションと理論による不安定境界とEP分割。 AT と M0 の 3 つの組み合わせ、つまり (a) AT = 0.7980 および M0 = 0.4754、(b) AT = 0.4958 および M0 = 0.3803、(c) AT = 0.0 および M0 = 0.2377 が計算されます。図中の軸 2πξ0/λ と ρ1u02/Y は \(\hat{\lambda }\) と \(\hat{Y}\) です。各図中の実線と中空点は、それぞれ不安定境界とEP分割のシミュレーション結果を示しています。実線と破線は不安定境界とEP分割の理論による結果を意味します。数値シミュレーションと解析理論による同一のATとM0の結果を比較のために1つの図にプロットします。

不安定性解析は、非圧縮性および非回転の流れを仮定した連続性と運動量の支配方程式から始まります。ポテンシャル流法を採用して、η(x,t) = ξ(t)eikx の摂動を伴う材料界面の法線方向に連続すべき速度場を表現します。そして、界面振幅ξ(t)の発展を記述する運動方程式が、材料界面の法線方向の力平衡条件で達成される。「方法」セクションでは、不安定性解析を確立するプロセスの具体的なケースを示します。固体の完全なEP特性と粘性流体のコーシー応力を用いて、EP固体と粘性流体の間の界面の運動方程式が得られます。本研究では固体の不安定性に焦点を当てており、流体の粘度は無視されています。振幅の運動方程式は無次元形式に変更されます (「方法」セクションの式 (21))。

ここで、zp は EP 移行が行われるときの成長係数であり、

記号 Λ と Χ には、無次元変数 M0 と \(\hat{Y}\) で表されるせん断弾性率と降伏強度の影響が含まれています。式では、 (1) 最初のブランチは、成長因子 z が zp に達する前に、弾性挙動で振幅運動を制御します。zp を超えると塑性変形が発生し、2 番目のブランチによる振幅挙動が表示されます。式から始めます。 (1) 数学的導出 (「方法」セクションを参照) を使用して、不安定性境界の解析式を開示します (「方法」セクションの式 (32))。

および EP 除算 (「方法」セクションの式 (38))

xp 、τp および τe の特定の定式化 (「方法」セクションの式 (30)、(28)、および (36) を参照) は、M1、M2、および Λ に相対的であるため、不安定境界と EP 分割は次の関係で表されます。 (\widehat{Y}\)= f (\(\widehat{\lambda }\)) は AT と M0 によって決まります。式によって計算された線。シミュレーションと同じ無次元変数を使用した (3) および (4) も図 3 にプロットされており、同一の結果を示しています。

さらに、不安定性の挙動を理解するために、理論によって不安定性の境界、EP 分割、振幅の展開 (「方法」セクションの式 (1) の解) に関するさらなる特性を実行します。

不安定境界と EP 分割は、\(\widehat{Y}\) 対 \(\hat{\lambda }\) 体を 3 つの部分に分割します。各部分のいくつかの点が振幅時間発展を実行するために選択されます (図 4)。図 4a は、AT = 0.5 および M0 = 0.4 の場合の不安定境界と EP 分割をプロットしています。 EP 分割の下の領域は、弾性挙動のみを伴う振幅運動を意味し、その成長係数も AT と M0 (「方法」セクションの式 (39a)) によって決定されます。したがって、EP 分割の下の領域のすべてのパラメーターの組み合わせは同じ時間発展を持ちます。これはG1によって制御され、狭い範囲で振動します（図4b）。不安定境界とEP分割の間の領域は、振幅が塑性変形しても安定していることを意味します。成長因子は最初に弾性振動して zp を超えて塑性段階に達しますが、その後 Y によって最大値まで抑制され、周囲で振動します (「方法」セクションの式 (39b))。不安定境界より上の領域では、成長因子も塑性段階まで弾性振動しますが、図4bに振幅の連続的な増加が示されているように、Yの効果は明らかに弱いです（「方法」セクションの式（39c））。上記の特徴を除いて、成長因子は \(\widehat{Y}\) または \(\widehat{\lambda }\) が減少するにつれてより安定した動きを示し、同一の \(\widehat {Y}\widehat{\lambda }\) は、塑性段階での同じ進化を指定します (「方法」セクションの式 (39b) および (39c))。 \(\widehat{\lambda }\) と \(\widehat{Y}\)、EP 状態と表面状態の対応する値は、図 4 の表 1 と表 2 にまとめられています。さらに、不安定境界も与えます。別のAT = 0.9およびM0 = 0.2のEP分割と振幅の展開（図4c、d）。表面の発達の規則性は、振動の範囲が明らかに狭いことを除けば、AT = 0.5 および M0 = 0.4 の場合と同様です。

理論による不安定境界、EP 分割、成長因子の 2 つのグループ。 (a、b) AT = 0.5、M0 = 0.4 で任意に選択された点の不安定境界、EP 分割、および成長係数の最初のグループ。 (c,d) AT = 0.9、M0 = 0.2 の 2 番目のグループ。選択された変数の組み合わせを意味する実線は不安定境界の上に位置し、中空の点は不安定境界と EP 分割の間にあります。各点の \(\hat{Y}\) および \(\hat{\lambda }\) の値は、点の後の括弧内にマークされています。同じ \(\hat{\lambda }\) を持つものもあれば、同じ \(\hat{Y}\) を持つものもあります。同じ形と色の点の場合、それらの \(\hat{Y}\hat{\lambda }\) は同一です。 (b)、(d)図の成長因子zの曲線の色は点の色と全く同じです。「弾性領域」とラベル付けされた線は、EP 分割の下の領域の成長係数であり、他の線には対応する \(\hat{Y}\) および \(\hat{\lambda }\) の値が括弧内に表示されます。

AT と M0 が不安定境界と EP 分割を決定するため、その影響も示します。 M0 = 0.2（図5a）でATを徐々に減少させることにより、不安定境界とEP分割が同時に座標軸の近くに移動し、振幅の増加と塑性運動の領域が拡大することを示しています。図5aで指定された \(\hat{Y}\) と \(\hat{\lambda }\) の固定の組み合わせの場合、AT が変化すると、点は異なる領域に位置します。 AT = 0.9 の場合、点は弾性領域内にあり、対応する振幅は弾性振動します (図 5b の黒線)。 AT = 0.7 の場合、その点は不安定境界と EP 分割の間にあり、成長は降伏応力によって制御されます (図 5b の緑線)。 AT = 0.3 の後、点は不安定領域にあり、振幅が連続的に増加します (図 5b の青線)。さらに、ATが減少するにつれて、不安定境界とEP分割の間の面積が減少することもわかりました。これは、小さなATで塑性変形が起こると、表面が不安定になることを示しています。次に、M0の影響を受ける不安定境界とEP分割の特徴を図5c、dにプロットします。 M0 の影響は、特に EP 分割ではそれほど明白ではなく、M0 の不安定性境界が増加すると、軸に近づく方向にかなりの動きが現れます。 M0 = 0.6と0.8の不安定境界の間の点では、成長因子は塑性変形を受ける必要があり、振幅はM0 = 0.6（図5dの黒線）では安定し、M0 = 0.8（図5dの青線）では不安定です。 5d）。不安定境界付近の変数の組み合わせの振幅発展の状態は、M0 の変化に敏感であると思われます。

AT と M0 が不安定境界と EP 分割に及ぼす影響。 (a) 固定 M0 = 0.2 の場合、AT = 0.9、0.7、0.3、− 0.5 の不安定境界 (実線) と EP 分割 (破線) の 4 つのグループがプロットされます。不安定境界と AT = 0.7 の EP 分割の間の点は赤い星で示されます。 (b) AT の変化による図 (a) の赤い星の成長率。 (c) 固定 AT = 0.9 の場合、M0 = 0.2、0.4、0.6、0.8、1.0 の不安定境界 (実線) と EP 分割 (破線) の 5 つのグループが示されています。また、M0 = 0.6 と 0.8 の間の赤い星も指定されています。 (d) M0 の変化としての図 (c) の赤い星の成長率。

ソリッドの顕著な特徴は、せん断変形に強いことです。固体は外力を受けると変形します。変形が可逆的である場合、つまり、外力が取り除かれるとすぐに変形が消える場合、このタイプの変形は弾性です。変形が永続的な場合、つまり固体が降伏する場合、固体は塑性挙動を伴って変形します。上記の結果に示されているように、せん断変形に対する抵抗が固体表面の不安定性を明らかに決定します。

これらの結果は、不安定境界、EP分割、無次元変数AT、M0、\(\widehat{\lambda }\)、\(\widehatで表される成長因子の進化を通じて、固体中のKHIの全体像が明らかになりつつあることを示しています。 {Y}\)。不安定性境界と EP 分割は、\(\widehat{\lambda }\) と \(\widehat{Y}\) の平面内に構築され、3 つの部分に分割されます。不安定性境界と EP 分割の相対位置は、不安定性境界が \(\widehat{\lambda }\) および \(\widehat{Y}\) 平面の EP 分割の上に位置することであり、これは不安定性の進化の特性の物理的な洞察を示します。 \(\widehat{\lambda }\) および \(\widehat{Y}\) 平面の最初の部分は、固体が降伏点に達せず、表面成長がせん断弾性率によって抑制される EP 分割より下の領域です。振幅は弾性段階でのせん断変形に抗して小さな範囲で振動を示します。不安定性の誘発が消えれば、表面の形態は元の状態に戻る可能性があります。 \(\widehat{\lambda }\) および \(\widehat{Y}\) 平面の 2 番目の部分は、EP 分割の上、不安定境界の下の領域であり、降伏が発生し、表面成長が強度によって制御されます。後半では固体の弾性が振幅の成長を抑制できなくなり、塑性段階まで変形が大きくなります。しかし、振幅の継続的な増加は、EP 遷移後の降伏強度によって制限されます。したがって、振幅発展の特性には、弾性振動から塑性変形、強度による成長抑制、周囲の振動の３つの過程が含まれます。不安定性の誘発がなくなると、表面の形態は永続的になる可能性があります。これら 2 つの部分は、安定した表面のすべてのケースを構成します。 \(\widehat{\lambda }\) および \(\widehat{Y}\) 平面の 3 番目の部分は、表面が塑性変形によって不安定になる不安定境界より上の領域です。 3 番目の部分では、不安定性の誘発により表面が弾性段階から塑性段階に変形し、強度によって振幅の増加を防ぐことができません。表面の進化は大きな変形を示し、波状の形態を形成します。不安定境界と EP 分割は AT と M0 によってさまざまな程度の影響を受けますが、上記の不安定発展の物理的規則性は変わりません。解析によると、EP転移は成長を大きくして波状の形態を形成するのに必要な条件であることが判明した。これは、斜め衝撃後に材料間の効果的な結合または混合を引き起こすために必要な最小限のエネルギーが、塑性変形を引き起こすエネルギーを超えなければならないことを意味している。

上で議論した KHI システムの場合、シミュレーションは、EP 特性の抑制効果を克服することによる初期段階での金属表面の振幅の継続的な成長が、波状形態を形成するための動的不安定性の兆候であり、すべての安定した状態を区別する境界があることを示しています。さまざまな速度、摂動形状 (初期振幅と波長)、および材料特性 (密度、せん断弾性率、降伏強度) に対する不安定な変数の組み合わせ。

私たちの解析式によって予測された不安定性境界と EP 分割は、シミュレーションによって得られたものと興味深いことに一致しており、モデルは無次元変数 AT、M0、\(\widehat{\lambda }\) および \(\widehat{Y}\) を次のように識別します。表面の不安定性を説明するための特性パラメータ。また、解析結果は、それらの無次元変数が進化の過程にどのような影響を与えるかを豊富な視点から定量的に示しています。私たちの数式にはスケールに依存しない項が含まれていないため、このモデルはここで議論したケースだけでなく、より広範な KHI システムの進化を予測できるようです。

私たちのシミュレーションによる後期の形態を斜め衝撃実験後の形態と比較すると、金属波状パターンの特性は振幅の成長と接線方向の動きを含めて類似しており、波状界面の形成メカニズムが実際にKHI5,25の進化版。私たちの研究の構成は、熱軟化を受ける金属によって強度材料が角度を付けて衝突した状況に似ています18。接線速度は、衝突体とターゲット間の衝突角度に応じて衝突速度から分解されます。摂動 (例: 表面粗さ) 24,25 とインパクターとターゲットの材料特性を抽出することにより、形状の無次元変数が簡単に計算されます。 AT が小さく、M0 が大きいということは、同じターゲットに対する衝突体の密度と速度がより大きいことを意味します。 \(\widehat{\lambda }\) と \(\widehat{Y}\) が小さいほど、より緩やかな摂動を伴う、より強度の高いターゲットに対応します。計算された (\(\widehat{\lambda }\),\(\widehat{Y}\)) と、波状形態の形成を意味する不安定境界との間の位置を特定することで、表面進化状態を予測できます。したがって、提示された理論的手法は、衝突結合やさらには混合を説明するために、斜め衝撃後の金属表面の変化を推定するのに役立つ、広範囲のスケールにわたる潜在的な多用途ツールを提供します29,30。 2 つの EP 金属間のより包括的な進化のためには、その特性についてさらなる調査が必要です。

スケーリング強度とせん断弾性率を線形に認識する材料構成特性の共通の仮定 31,32 および高圧での構成挙動 33,34 は、せん断弾性率と降伏強度の関係を示しています。動的荷重 (接線速度) とサンプル (密度、せん断弾性率、降伏強度) の設計条件の場合、 AT 、 \(\widehat{Y}\)、 \(\widehat{\lambda }\) を除く M0 (初期振幅)つまり、表面の不安定状態は、原点や寸法を含む摂動の特性によって決まります。これは、機械加工技術や材料の微細構造などに関連する別の複雑な問題です。斜め衝撃後の塑性変形を伴う波状形態は、次のようになります。異種材料間の結合の証拠 29,30 であるため、摂動は効果的な結合の重要な要素になります。

この論文で使用される数値シミュレーションは、動的衝撃と表面の不安定性をシミュレートするために頻繁に採用されている 2D ラグランジュ有限要素法です 18,24。物質界面を捉えるラグランジュ法の利点を利用して、固体の鮮明な表面を取得します。材料の表面は最初は接触しており、2 つの表面方法である滑りのみの接触によって定義されます。ラグランジュ法のフレームワークと信頼性の詳細については、以前の研究で行われています21。

固体と流体はどちらも、係数 γ = ρ0γ0/ρ を使用してミー・グリューナイゼン状態の EOS でシミュレーションされます。ここで、γ0 はパラメータ特性、ρ0 は初期密度です。衝撃速度 vs と粒子速度 vp の関係は、vs = c0 + svp です。ここで、c0 はバルク音速、s は特性定数です。銅の場合、ρ0 = 8.9 g/cm3、γ0 = 2.02、c0 = 3.94 cm/μs、および s = 1.49 が使用されます。一方、ρ0 = 1.0 g/cm3、γ0 = 0.4934、c0 = 1.48 cm/μs、および s = 2.56 は水に使用されます 35,36。理論モデルと一致させるために、一定のせん断弾性率 G1 と一定の降伏強さ Y を持つ固体を特徴付けるために、完全に弾性および剛性の高いプラスチックモデルが採用されています。

振幅 2ξ0 は、y 方向の波の山から谷までの距離です。 x 方向の界面の長さには、横方向の広がりの影響を軽減するために 20 の波長が含まれています。初期状態では一辺2.5μmの正方形のメッシュが分布しています。固体プレートは静止しており、流体プレートの接線速度は初期時に u0 に設定されます。

2 次元構成の場合、振幅運動方程式は、界面に作用する保存力および非保存力なしで、連続性と運動量の支配方程式から開始して導出されます。

ここで、i = 1 と i = 2 はそれぞれ 2 つの材料を表し、ui は材料 i の非回転摂動速度を特徴付け、pi は圧力です。不安定性解析を確立するためにポテンシャル流れ理論が採用されています。初期時の非回転流れの場合、接線速度を考慮すると、次のようになります。

ここで、ϕi と Φi はラプラス方程式を満たします。圧力の数式は、式(1)を積分することで得られます。 (6) y = 0 から y 方向の瞬間界面 y = η (x, t) まで (C1 = C221)

法線方向の運動学的条件あり

と潜在的な関数

固体上に固定された 2D 座標系を考慮して、ξ(t) の観点から係数 Ai(t) を決定します。

法線方向の界面でも力の平衡が得られる

ここで、Fy(j) は界面に作用する単位面当たりの力を表します。 EP 固体と粘性流体の系の場合、上の式は次のように表すことができます。

ここで、S1,yy(ep) は EP 固体の偏差応力の垂直成分を表し、S2,yy(v) は流体のコーシー応力テンソル σij = -pδij + Sij の偏差部分の垂直成分を表します。

弾性段階の固体は線形構成関係を持つフック固体と仮定される37

ここで、D1,ij はひずみ速度テンソルです。流体の偏差応力テンソルは次の形式をとります。

ここで、μ2 は動粘度です。弾性固体および粘性流体の偏差応力の垂直成分は、式 (1)、(2) を使用して取得されます。 (7)、(11)、(12)、(15a)、(15b)、(16a)、(16b)

すると、弾性方程式の振幅の運動は式(1)で記述できます。 (18) に式を代入すると、 (17a) と (17b) を式に代入します。 (14)

固体が降伏するときの摂動振幅 ξp は、EP 遷移の条件、つまり有効応力 \(\tilde{\sigma }=\sqrt{3{S}_{1,ij}{S}_{1, ij}/2}\) が Y に到達します。次に、式 (1)、(2) を使用して、プラスチック固体の数学的表現が導出されます。 (15a) および (15b) と、塑性変形は y ~ k-1 などの表面から離れた小さな層でのみ発生するという事実を考慮します。 EP 固体および粘性流体の振幅の積分運動方程式は次のとおりです。

固体表面の不安定性に焦点を当てるため、流体の粘性効果については一時的に議論しません。 EP 固体と理想流体の間の KHI の振幅運動は、式 (1) で μ2 = 0 をとることによって記述されます。 (19)

その無次元の形は

無次元変数の定義を使用すると、AT = (ρ1-ρ2) / (ρ1 + ρ2)、M02 = ρ1u02/G1、z = ξ(t)/ξ0、τ = tku0、\(\widehat{\lambda }\)= 2πξ0/λ および \(\widehat{Y}\)= ρ1u02/Y。 zp は EP 移行が行われるときの成長係数であり、

\(\widehat{\lambda }\) は界面の特性を表し、\(\widehat{Y}\) は不安定性の誘因と抵抗を表します。

安定の条件は、振幅が特定の時間 τ = τm で最大値をとらなければならないことです。これは、次のことを意味します。

導出は式(1)から開始されます。 (21) 初期条件 z(0) = 1 および ż(0) = 0 を使用します。

を式に導入します。 (21) 達成する

初期条件と連続条件は

ここで、τp は固体が弾性から可塑性に過渡的に変化する時間です。積分方程式 (25a) と式 (26a) と式の評価 (26b) と (26c) は、限界安定状態が塑性領域に移行する時間 τp で、

次に、式(1)の積分を実行します。 (25a) 式 (25a) を 2 回使用します。 (26a) と (26b) を取得すると、

式の最初の積分を行うことにより、 (25b) と式 (26b) と (26c) を計算し、式 (26b) により x2(τm) = ẋ2(τm) = 0 を評価します。 (23)、私たちは持っています

次に、式の 1 次導関数を運ぶことによって、 (24a) と (24b) を計算し、それらを τ = τp で評価し、式 (24a) と (24b) を組み合わせます。 (27) と (29) で xp を取得します。

式の評価 (26b) を式に代入します。 (24a) と式 (24a) の zp を組み合わせます。 (22)、それは

式の Χ の定義を使用すると、 (22)、不安定境界に達します

EP 遷移は、純粋な弾性の最大振幅 zme = z(τe) が塑性流動発生時の振幅 zp と等しくなるときに発生します。式から (24a)、それは

ここで、τe は EP 遷移が発生する時間です。 ż (τe) = 0 なので、式の導関数は次のようになります。 (24a) τ = τe では、次のようになります。

式の最初の積分を評価します。 (25a) τ = τe では、次のようになります。

遷移時間 τe を求めるには、式 (1) を積分します。 (25a) を 2 回実行し、式 (25a) を使用して τ = τe で評価します。 (35)、得られる

したがって、式を組み合わせると、 (33) zme = zp の場合、次のようになります。

そして、式 1 で Χ の定義を再び使用します。 (22)、EP分割の式が求まる

成長因子は式(1)の解です。 (21) と解決プロセスは以前の研究と同様です21。ここでは、解の無次元形式をリストします。安定しているのは２つ

zp 以下の純粋に弾性のあるケースの場合、

EP移行あり。 2 つの不安定な解はそれぞれ、

そして

現在の研究中に使用および分析されたデータセットは、合理的な要求に応じて責任著者から入手できます。

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この研究は、中国国家自然科学財団（第 11902039 号）の支援を受けました。

応用物理および計算数学研究所、100094、北京、中華人民共和国

シー・ワン、シャオミアン・フー、シェンタオ・ワン、ハオ・パン、ジャンウェイ・イン

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XW と HP は原稿を書き、方法論に取り組みました。 XW、XMH、HP がこのアイデアを監修し考案しました。 STWは原稿を修正し、資金を手配しました。 XW と JWY がソフトウェア作業とシミュレーションを担当しました。

ハオ・パンまたはジャン・ウェイ・インへの対応。

著者らは競合する利害関係を宣言していません。

シュプリンガーネイチャーは、発行された地図および所属機関における管轄権の主張に関して中立を保ちます。

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転載と許可

王 X.、胡 XM.、王 ST. 他。金属表面における流体力学的ケルビン・ヘルムホルツ不安定性。 Sci Rep 13、2686 (2023)。 https://doi.org/10.1038/s41598-023-29810-7

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受信日: 2022 年 6 月 20 日

受理日: 2023 年 2 月 10 日

公開日: 2023 年 2 月 15 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-29810-7

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